PhViewer 2.0

цифровая обработка сигналов

Пусть имеется входной полосовой сигнал с фазовой модуляцией:
сигнал с фазовой модуляцией
(1)
где A0 — амплитуда входного сигнала, w— несущая частота сигнала, m — девиация фазы PM сигнала (индекс фазовой модуляции) и sm(t) — модулирующий сигнал, который необходимо выделить из s(t). Предполагается, что модулирующий сигнал sm(t) по модулю не превосходит единицу.
Выделим при помощи квадратурного гетеродина огибающую фазы ф(t) сигнала s(t), как это показано на рисунке 1.
Выделение комплексной огибающей при помощи квадратурного гетеродина
Рисунок 1: Выделение комплексной огибающей при помощи квадратурного гетеродина

После умножения исходного сигнала на квадратурные компоненты получим:
(2)
На выходе ФНЧ компоненты на удвоенной частоте будут отфильтрованы и останется:
(3)
Из выражения (3) можно выразить:
(4)
Таким образом, мы смогли продемодулировать PM сигнал и выделить исходный модулирующий сигнал sm(t). При этом необходимо обратить внимание на следующие моменты. Во первых, приведенные выражения подразумевают когерентный прием PM сигнала, т.е. отсутствие частотного и фазового рассогласования несущей частоты и частоты квадратурного гетеродина, и во вторых предполагается, что арктангенс вычисляется в пределах [-pi +pi] радиан (функция арктангенс 2). Если же условие когерентного приема не обеспечивается, то имеются частотное рассогласование dw и случайный фазовый сдвиг ф0 принятого PM сигнала относительно начальной фазы гетеродина. Таким образом, можно (2) переписать в виде:
(5)
Соответственно на выходе ФНЧ получим:
(6)
Тогда
(7)
Таким образом, некогерентный прием приводит к тому, что к демодулированному сигналу добавляется линейная составляющая пропорциональная частотной расстройке плюс случайная начальная фаза. При этом начинает проявляться второй эффект, который заключается в периодичности арктангенса. Если линейное слагаемое dw*t превысит по модулю pi, то в силу периодичности арктангенса на выходе будет «пила» как это показано на рисунке 2. Для устранения периодичности применяют функции раскрытия арктангенса (unwrap – функции ).
Эффект периодичности арктангенса
Рисунок 2: Эффект периодичности арктангенса

Таким образом, для приема PM сигнала требуется когерентная обработка, в противном случае возможны искажения демодулированного сигнала. На практике, аналоговая PM модуляция не получила широкого распространения ввиду указанных недостатков. Однако цифровая фазовая модуляция, когда модулирующий сигнал — цифровой, нашла огромное применение. При цифровой фазовой модуляции модулирующий сигнал представляет собой прямоугольные импульсы и фаза меняется скачкообразно и получается фазовая манипуляция (phase shift key PSK), но о ней подробно в следующих разделах. Мы же вернемся к частотной модуляции. При частотной FM модуляции исходный модулирующий сигнал интегрируется:
(8)
где wd— девиация частоты FM сигнала. Тогда в соответствии с (7) при некогерентном приеме огибающая фазы FM сигнала равна:
(9)
Продифференцировав огибающую фазы ф(t) получим мгновенную частоту:
(10)
Обратите внимание, после взятия производной частотное рассогласование влияет лишь на постоянную составляющую демодулированного сигнала, которая как правило не несет информации и может быть устранена при помощи фильтра верхних частот. Однако перед дифференцированием остался арктангенс с «нежелательной периодичностью». Давайте от него избавимся, рассчитав производную арктангенса в выражении (10) как производную сложной функции:
(11)
Структурная схема FM демодулятора соответствующего выражению (11) представлена на рисунке 3.
Структурная схема FM демодулятора
Рисунок 3: Структурная схема FM демодулятора

Необходимо сделать замечание. Деление в выражении (11) на квадрат амплитудной огибающей A2(t)+B2(t) приводит к устранению влияния паразитной амплитудной модуляции, возникающей при прохождении сигнала через избирательные цепи приемника. При цифровой реализации демодулятора вычисление производной можно заменить расчетом конечных разностей первого («текущий минус предыдущий») или второго порядка (центральная разность «следующий минус предыдущий»).
Пусть исходный сигнал представляет собой сигнал вида:
(12)
Нормированный исходный модулирующий сигнал показан на рисунке 4. Исходным модулирующим сигналом производилась частотная и фазовая модуляция сигнала на несущей частоте 25 кГц с девиацией частоты при FM модуляции равной 2 кГц и девиации фазы PM равной 7.

Осциллограмма исходного нормированного модулирующего сигнала
Рисунок 4: Осциллограмма исходного нормированного модулирующего сигнала

Выход фазового демодулятора без раскрытия периодичности арктангенса
Рисунок 5: Выход фазового демодулятора без раскрытия периодичности арктангенса

Выход PM и FM демодуляторов с нормировкой и раскрытием арктангенса с точной настройкой частоты гетеродина
Рисунок 6: Выход PM и FM демодуляторов с нормировкой и раскрытием арктангенса с точной
настройкой частоты гетеродина

Выход PM и FM демодуляторов с нормировкой и раскрытием арктангенса с расстройкой частоты гетеродина
Рисунок 7: Выход PM и FM демодуляторов с нормировкой и раскрытием арктангенса с расстройкой
частоты гетеродина

На рисунке 5 показан выход фазового детектора при демодуляции PM сигнала. Видно, что на выходе арктангенса явные перегрузки по фазе, вызванные периодичностью по фазе. Раскрытие периодичности арктангенса, с соответствующими нормировками PM и FM демодуляторов при точной настройке частоты гетеродина на несущую частоту FM и PM сигнала показаны на рисунке 6. Хорошо видно, что при точной настройке частоты гетеродина сигнал на выходе FM демодулятора полностью повторяет исходный модулирующий сигнал, а на выходе PM демодулятора смещен на постоянную составляющую пропорционально случайной начальной фазе. Сигнал на выходе PM и FM демодуляторов при частотной расстройке гетеродина соответственно 100 (в случае PM сигнала) и 500 Гц (для FM сигнала) показаны на рисунке 7. Можно заметить, что частотная расстройка при FM сигнале смещает только постоянную составляющую на выходе FM демодулятора, в то время как на выходе PM демодулятора добавляется линейное слагаемое с коэффициентом пропорциональности зависящим от частотной расстройки гетеродина.
Давайте теперь рассмотрим вопрос раскрытия периодичности арктангенса. Для этого применяют unwrap -алгоритмы, которых существует несколько вариантов. Первый вариант заключается в обнаружении скачков фазы на выходе арктангенса близких к 2*pi радиан. Принцип работы данного алгоритма показан на рисунке 8.
Раскрытие периодичности арктангенса (unwrap)
Рисунок 8: Раскрытие периодичности арктангенса (unwrap)

при обнаружении скачков по фазе равных (или близких) к 2*pi радиан, которые показаны на верхнем графике рисунка 8 красным, формируется сигнал dф(t) (средний график рисунка 8) по следующему правилу. Если скачок фазы произошел вниз, то к dф(t) добавляется 2*pi, если вверх, то вычитается 2*pi. Сигнал с раскрытой фазой фunwrap(t) равен ( нижний график рисунка 8 ) :
фunwrap(t)=ф(t)+dф(t)
(13)
Сложность данного алгоритма заключается в том, что скачки по фазе как правило меньше 2*pi из-за шумов и из-за дискретизации сигнала. В этом случае есть вероятность пропустить скачок по фазе и сформировать неправильный сигнал dф(t).
Второй вариант раскрытия периодичности арктангенса заключается в следующем. PM сигнал демодулируют при помощи FM демодулятора в соответствии с (11) при помощи структуры приведенной на рисунке 3. В результате получают мгновенную частоту w(t), равную производной от фазы ф(t). После этого интегрируют  и восстанавливают фазу без использования арктангенса ( см. рисунок 9 ) .
Раскрытие периодичности арктангенса при использовании FM демодулятора
Рисунок 9: Раскрытие периодичности арктангенса при использовании FM демодулятора

Данный способ не приемлем в случае цифровой модуляции, так как частотный демодулятор не сохраняет информации о начальной фазе, кроме того в результате интегрирования к сигналу на выходе добавляется случайная постоянная интегрирования.
Еще один, пожалуй, самый лучший способ раскрытия периодичности арктангенса, который нашел широкое распространение в цифровых системах с фазовой манипуляцией - это недопускание набега фазы больше 2*pi (т.е. недопускание периодичности арктангенса) за счет использования следящих контуров фазовой автоподстройки частоты, подробно рассмотренных в данной статье.
Таким образом, мы рассмотрели вопросы построения PM и FM демодуляторов. Показали, что для PM сигнала частотная расстройка гетеродина приводит к линейному слагаемому на выходе PM демодулятора, а в случае FM сигнала при частотной расстройке меняется лишь постоянная составляющая на выходе демодулятора. Приведены unwrap алгоритмы раскрытия периодичности арктангенса.

Источник: http://www.dsplib.ru